gakusyu.jp 数学初級問題集（ 1103）

gakusyu.jp 数学初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）

問題:$1$の虚立方根の$1$つを$\omega$とする。$(\omega^2+\omega)^3+\omega^3=$

$~$$\omega^2$

$~$$-2$

$~$$1+\omega$

$~$$\omega$

$~$$0$

解説

$z^3=1$の解は，複素数の範囲で3つありその1つは1で，残りは実数ではない複素数になります。その3つを複素数平面に置くと原点を中心とする半径1の円上に乗り，複素数平面上で正三角形をつくります。複素数解の2解のうち一方を$\omega$と置くと，他方は$\omega^2$になります。どちらの方をおいてもそうなります。この$\omega$，$\omega^2$を「1の虚立方根」と言うことがあります。
また，さっき言いましたが，原点を重心とする正三角形と言うことから，$ \omega^2+\omega+1=0 $ になります。この式を移項により変形すると，$\omega^2+\omega=-1$なので，問題文のはじめのかっこの中は $ -1 $ ですね。

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