gakusyu.jp 数学初級問題集（ 1020）

gakusyu.jp 数学初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）

問題:直線 $ y=x+k $ と円 $ x^2+y^2=1 $ とが接するときの $ k $ の値を求めなさい。

$~$$k=\pm\sqrt{2}$

$~$$k=\pm2\sqrt{2}$

$~$$k=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$~$$k=\pm2\sqrt{5}$

$~$$k=\pm\sqrt{5}$

解説

　円と直線が接するというのを数式に直します。すると，円の中心と，直線との距離が，円の半径に等しい。ということを数式に直せば良いことになります。それには「点と直線との距離の公式」を使います。
　もう1つの方法としては，直線の式と円の式から1文字を消去して，$ x $ または $ y $ の2次方程式を作ります。その方程式が重解を持つということを数式に直す方法も考えられます。
　あとは，円の中心と接点を結ぶ線分を考えます。この線分は接線と直交します。この問題では直線の傾きが1なので，線分の方の傾きは-1です。そこから交点の座標などを求めて $ k $ も求められますね。

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