gakusyu.jp 数学初級問題集（ 1050）

gakusyu.jp 数学初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）

問題:加法定理　$ \cos (\alpha + \beta ) = $

$~$$\cos\alpha + \cos\beta$

$~$$\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

$~$$\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$

$~$$\sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$

$~$$\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$

解説

　さて，三角関数の加法定理の問題です。これは式を覚えておきましょう。三角関数の一種の展開の公式です。$ \cos (\alpha + \beta ) = \cos\alpha+\cos\beta$とかやったら駄目ですよ。
　式を覚えた上で，証明もできると良いですね。証明の概略を述べます。単位円上に点A(1，0）とその点から$\alpha+\beta$回った点Bを考えます。回る方向はもちろん反時計回りです。一方で，同じAから$-\alpha$回った点Cと，点Aから$\beta$回った点Dを考えます。このCとDというのは，それぞれAとBを$-\alpha$まわして得られた点です（点B（$\alpha+\beta$の点）から$-\alpha$回すと，$\beta$だけ残り点Dになります）。ということは，AとBを同じ角度回したものがCとDということです。なので，AとBを丸く切った厚紙に書いてそれを原点のところで画鋲でさして，同じ角度回せばCとDになります。なので距離ABと距離CDは同じです。そのことを三平方の定理で数式化すれば，加法定理の式が得られます。

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