gakusyu.jp 数学初級問題集（ 1065）

gakusyu.jp 数学初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）

問題:$\log_{2}{2\sqrt{2}}+\log_{2}{2\sqrt{2}}=$

$~$$3$

$~$$\dfrac{5}{2}$

$~$$4$

$~$$2$

$~$$\dfrac{3}{2}$

解説

$\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}$
という等式があるんですね。真数（$\log$の中の大きい数）の中の掛け算は，別々の$\log$の和に分割できるんですね。また，逆に，2つの$\log$の和を，1つの$\log$にまとめる事もできるんですね。但しまとめるときは，同じ底（$\log$の小さい数字）の対数で行うことができます。以下に証明を書いておきます。
$p=\log_a{M}$，$q=\log_a{N}$とする。$M=a^p$，$N=a^q$となる。これらを掛け算して，$MN=a^{p}a^{q}=a^{p+q}$この式の両端を対数の書きかたで表すと，$\log_a{MN}=p+q$よって，$\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}$

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