gakusyu.jp 数学初級問題集（ 1095）

gakusyu.jp 数学初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）

問題:漸化式a_n+1＝３a_n＋２，a₁＝１　のはじめの式を変形すると，a_n+1＋１＝３（a_n＋１）になります。a_nの一般項を求めよ。

$~$a_n＝３・２ⁿ＋１

$~$a_n＝２・３^n-1－１

$~$a_n＝２・３^n-1＋１

$~$a_n＝２・３ⁿ－１

$~$a_n＝２ⁿ－１

解説

このタイプの漸化式の解き方は覚えておきましょう。両辺を変形して，
$a_{n+1}+\alpha = 3(a_n+\alpha)$にしたいのです。この$\alpha$を知りたいのです。それには，この変形後の式を立てて，それを展開して，問題文の式と比較することで，$\alpha$に関する方程式をつくって$\alpha$を求めて知ることができます。
実際に行うと，$\alpha=1$となり，問題文にある変形後の式ができます。この式の意味は$a_n+1$を3倍すると$a_{n+1}+1$になると言うことで，数列${a_n+1}$が公比3の等比数列となります。$a_n$自体は等比数列ではないんですけど，$a_n$の各項に1を加えて，$a_n+1$という数列を作ると，それは等差数列になるんですね。よって，$a_n+1=(a_1+1)\times3^{n-1}$
となります。

前の問題　次の問題

分野ごとのページに戻る　

gakusyu.jp 初級問題集 TOPに戻る…この窓で　別の窓で