gakusyu.jp 数学初級問題集（ 1094）

Processing math: 100%

gakusyu.jp 数学初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）

問題:

$\log_2{3}\cdot\log_3{4} =$

$~$

$4$

$~$

$2$

$~$

$1$

$~$

$0$

$~$

$3$

解説

　まずは，対数における，真数の指数は積として前に出せる公式の証明。

$p=\log_a{M}$ とする（

$a$ は1以外の正数，

$M$ は正数）。
∴

$M=a^p$ （対数を指数に直しました）
∴

$M^k=a^{kp}$ （両辺を

$k$ 乗しました。

$k$ は実数）
∴

$\log_a{M^k}=kp$ （対数表示に直しました）。
∴

$\log_a{M^k}=k\log_a{M}$ （右辺の

$p$ をはじめの式を使って書き直しました。）
この最後の式が公式です。
　次に「底の変換公式」を証明します。

$\log_a{b}=p$ とする（

$a$ は1以外の正数，

$b$ は正数）。両辺の対数を取ると，

$\log_c{a^p}=\log_c{b}$ （

$c$ は1以外の正数）
∴

$p\log_c{a}=\log_c{b}$ （この変形の際にはじめに証明した，いわゆる「前に出せる公式」を左辺につかっています。）
ここで，

$a\not=1$ なので，

$\log_c{a}\not=0$ である。両辺をこの

$\log_c{a}$ で割って，
∴

$p=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$
∴

$\log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$ （はじめに置いた式を使って左辺の

$p$ を書き直しました。）
この最後の式が公式です。これを使うと，式の中に底が異なる

$\log$ のが出てきたときに，その底をそろえることができます。底は，1以外の正の数であることが必要なことに注意してください。それを満たすならば自由に決めることができますので，その後の計算が楽になるものを選びましょう。

前の問題　次の問題

分野ごとのページに戻る　

gakusyu.jp 初級問題集 TOPに戻る…この窓で　別の窓で