gakusyu.jp 数学初級問題集（ 1094）

gakusyu.jp 数学初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）

問題:$ \log_2{3}\cdot\log_3{4} = $

$~$$4$

$~$$2$

$~$$0$

$~$$1$

$~$$3$

解説

　まずは，対数における，真数の指数は積として前に出せる公式の証明。
$p=\log_a{M}$とする（$a$は1以外の正数，$M$は正数）。
∴$M=a^p$（対数を指数に直しました）
∴$M^k=a^{kp}$（両辺を$k$乗しました。$k$は実数）
∴$\log_a{M^k}=kp$（対数表示に直しました）。
∴$\log_a{M^k}=k\log_a{M}$（右辺の$p$をはじめの式を使って書き直しました。）
この最後の式が公式です。
　次に「底の変換公式」を証明します。$\log_a{b}=p$とする（$a$は1以外の正数，$b$は正数）。両辺の対数を取ると，
$\log_c{a^p}=\log_c{b}$（$c$は1以外の正数）
∴$p\log_c{a}=\log_c{b}$（この変形の際にはじめに証明した，いわゆる「前に出せる公式」を左辺につかっています。）
ここで，$a\not=1$なので，$\log_c{a}\not=0$である。両辺をこの$\log_c{a}$で割って，
∴$p=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$
∴$\log_a{b}=\dfrac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$（はじめに置いた式を使って左辺の$p$を書き直しました。）
この最後の式が公式です。これを使うと，式の中に底が異なる$\log$のが出てきたときに，その底をそろえることができます。底は，1以外の正の数であることが必要なことに注意してください。それを満たすならば自由に決めることができますので，その後の計算が楽になるものを選びましょう。

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