gakusyu.jp 数学 初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）
| 問題:$ \lim \limits_{x\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{2x} \right)^x=$ $ \lim \limits_{x\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{x} \right)^x=e$ ） |
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解説 問題文の但しの数式を利用します。この式には，3ヶ所の $ x $ がありますが，ここが同じ文字であり，かつ無限大になれば，当該式は$ e $に収束です。ですが，問題文の方の式は1ヶ所が $ 2x $ となっており，一致していません。ですので，３ケ所を一致させます。$2x$ にするのが良いでしょう。$ \left(1+\dfrac{1}{2x} \right)^{2x}$ この式ならば$e$に収束します。これは， $ \left(1+\dfrac{1}{2x} \right)^{2x} = \left(\left(1+\dfrac{1}{2x} \right)^x\right)^2$ となります。2乗する前のカッコの中身がその極限を求めたい式です。ここで極限の順序を入れ替える際の難しい問題がありますが，それを行います。すると，求めたい物の極限の2乗が$e$となります。 |
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