gakusyu.jp 数学初級問題集（ 3009）

gakusyu.jp 数学初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）

問題:$ \lim \limits_{n\to \infty} \sum\limits_{k = 1}^{n}\left(\dfrac{1}{k(k+1)} \right)=$

$~$$\infty$

$~$$1$

$~$$2$

$~$$0$

$~$$\dfrac{1}{2}$

解説

limをとる前のシグマの計算をしてしまいます。部分分数分解という恒等式を使用します。
$\dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$
この式を使って，シグマの部分をシグマを使わないで＋で書き表すと，同じ分数の引き算と足し算が表れます。つまり，打ち消しあって0になる部分がたくさん生じますので，シグマを使わないで書いても，かなり短い式になります。そうしたらlimを考えます。

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