gakusyu.jp 数学 初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）
| 問題:$ \lim \limits_{n\to \infty} \left( \dfrac{1}{n} \right) \sum\limits_{k = 1}^{n}\left(\dfrac{k}{n} \right)^2=$ |
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解説 この問題は，図形に直してみます。はじめの$\frac{1}{n}$は長方形の横です。次の$(\frac{k}{n})^2$は長方形の縦の長さを表します。シグマでたされているので，いろいろな長さの長方形が全部で$n$個あるということです。そのそれぞれの横の長さが一番最初の$\frac{1}{n}$ということです。横の長さは，どの長方形でも同じ長さなので，因数分解してまとめてあると言うことです。$n$を$5$ とか$10$ とかで図を描いてみるのも良いと思います。各長方形は，隣とくっつけて，しかも底辺をそろえて描きますよ。これはだんだん高くなっている階段のような図になりその面積を表しています。さてそうした後で，$\lim$を考えますと，$n$が十分大きい値になりますので，長方形が多くなり，細くなりますので，段が細かくなり，ある図形の面積に近づいていきます。で，この式はある定積分に近づいていきますので，その定積分を計算すれば答えが求まります。 |
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