gakusyu.jp 数学初級問題集（ 3027）

gakusyu.jp 数学初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）

問題: $\displaystyle \int \log x dx = $ （積分定数は省略せよ。）

$~$$x\log{x}+x$

$~$$\dfrac{1}{x}$

$~$$(\log{x})^2$

$~$$\dfrac{1}{2}(\log x)^2$

$~$$x\log{x}-x$

解説

５つの選択肢の式をすべて微分しても良いですが…，解説は記述式だとして考えます。
まずは，「部分積分法」を使う方法があります。問題文の式を$\displaystyle \int 1\cdot \log x dx $と見て，部分積分します。1を積分する方と見て，$\log x$を微分する方と見ます。
別解としては，$ x\log x $を微分する方法があります。「積の微分法」をつかうと，$ \log x +1$になりまして，惜しいことに1が残ります。これを消すには $ -x $ の微分が-1ですので，先ほどの式と，この式の和をつくります。その和の式を微分するとうまくいくようです。

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