gakusyu.jp 数学 初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）
| 問題:$\displaystyle\int _{0}^{2}\sqrt {4-x^{2}}dx=$（問題を訂正いたしました。2014/5/31） |
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解説 これは，「置換積分」の技を使います。$x=2\sin\theta$と置きます。目的は，$x$の積分を$\theta$の積分に換えることです。その際に積分区間も変更になります。被積分関数は，$\sqrt {4-4\sin^{2}\theta}$になります。さらに$\sqrt {4\cos^{2}\theta}$になります。このルートを外したいと思います。積分区間が$0\leqq x\leqq2$なので，$0\leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$などを考えることができます。なので、マイナスは不要で，$2\cos\theta$になります。あとは$dx$を$d\theta$に換える必要があります。これははじめに置いた$x=2\sin\theta$を使います。この両辺を$\theta$で微分しますと，$\dfrac{dx}{d\theta} = 2\cos{\theta}$になります。よって$dx = 2 \cos{\theta} d \theta$になります。なので問題文の積分は， $\displaystyle\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}2\cos\theta 2 \cos \theta d\theta$になります。 $=4\displaystyle\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 \theta d\theta$ $=2\displaystyle\int _{0}^{\frac{\pi}{2}}( 1 + \cos 2\theta ) d\theta$として求めます。別解というか別の解釈として，円の面積の一部として考えることもできましょう。 |
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