gakusyu.jp 数学 初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）
| 問題:$ x，y，z $ は実数とする。$ x = y $ は， $ xz = yz $ であるための（ ）。 |
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解説 「$ P $ならば$ Q $である。」が真のとき（正しいとき）に，$P$のことを（$Q$であるための）「十分条件」と言います。$Q$のことを（$P$であるための）「必要条件」と言います。 以下，$ P $を「$ x=y $」とし，$ Q $を「$ xz=yz $」とします。この問題は$P$がいったい「十分条件」なのか「必要条件」なのかについて調べる問題になります。 この問題で考えてみますと，まず$P$が「十分条件」か否かについて検討してみましょう。そのためには，$P$を，「ならば」の前に持ってきた文章を作ります。「$P$ならば$Q$」に相当する文章は，『「$ x=y $」ならば$ xz=yz $』になりまして，この文章は正しいです。2つの実数 $ x，y $ が等しい数であるならば，その等号の両辺に実数 $ z $ を掛け算しても，等号は成り立っています。なので，ある命題が真のときの「ならば」の前（$P$『$ x=y $』）は，「十分条件」と言って良い事になります。 さて，次は「$ x=y $」が必要条件なのか否かについて検討します。そのためには，「$ Q $ならば$ P $である。」の文が，正しいか否かの検討をする事になります。すなわち，必要条件と言って良いのか否かの検討には，その検討の対象（今回は$P$）を「ならば」の後に持ってきた文章を作って，その真偽を検討する事になります。 具体的に作りますと，『$ xz = yz $ ならば $ x = y $ 』となります。これについて考えます。 これは実は正しくありません。 正しくない証明には反例を上げるとよいでしょう。 この場合の反例は$x=2，y=3，z=0$などがあります。要は$x，y$として互いに等しくない数をあげ，$z$として$0$を考えます。そうするとならばの前の$xz=yz$は成り立っていますが，ならばのあとの$x=y$は成り立っていません。なので，「$ Q $ならば$ P $である。」の文は正しくない文章になります。なので，$P$は必要条件にはなりません。 以上で説明終わりですが，この解説初めの4行は定義であり覚える事ですが，「$Q$」は今回問われておらず，まあ脇役というか，英文法などで例えると，目的語か補語のような存在で，どうでも良い訳なので混乱する人もいるかも。なので，暗記のために，極力$Q$の存在を消して，全部$P$ではじめの4行を書き直すと，「$P$ならば～」が正しいと，$P$は「十分条件」となり，「～ならば$P$」が正しいと，$P$は「必要条件」になります。 |
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