gakusyu.jp 数学初級問題集（ 1052）

gakusyu.jp 数学初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）

問題:次の三角関数を合成しなさい。$\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta$

$~$sin（θ＋60°）

$~$sin（θ－30°）

$~$sin（θ＋30°）

$~$sin（θ－210°）

$~$sin（θ＋210°）

解説

三角関数の合成とは，一般的には，$a\sin\theta+b\cos\theta$の式を，１つの$\sin$か$\cos$にすることを言います。その方法は，式全体を，$\sqrt{a^2+b^2}$でくくる事をします。すると，

$ ~a\sin\theta+b\cos\theta$
=$\sqrt{a^2+b^2}(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta) $

となります。この，$\sin\theta$と$\cos\theta$の前にかかっている分数は，それぞれ$\cos\alpha$と$\sin\alpha$に直すことができます（前者を$\sin\alpha$，後者を$\cos\alpha$と入れ違えて直すことも可能）。これらの2乗の和は1なので，対応する角度$\alpha$が必ず存在します。そうしたら，加法定理を通常の逆の方向に使って，1つの三角関数にまとめることができます。
$=\sqrt{a^2+b^2}(\sin\theta \cos\alpha + \cos\theta \sin\alpha) $
$=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)$

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