gakusyu.jp 数学初級問題集（ 1076）

gakusyu.jp 数学初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）

問題:$ (x+y)^5 $ を展開したときの $ x^3y^2 $ の係数を求めよ。

$~$10

$~$6

$~$4

$~$1

$~$20

解説

$ (x+y)^5 $ を展開すると，いろいろな項が出てきます。これらはすべて $ x $ と $ y $ があわせて5個掛け算されている項です。つまり，
$ xxxxx $，
$ xxxxy $，
$ xxxyx $，
…，
$ yyyyy $
が生じるわけです。その和が展開の式の計算結果になります。これらは互いにすべて異なっているものが32種類生じます。32と言うのは，1文字目が$x$なのか$y$なのかで2通り，2文字目も同様に2通りと，樹形図を書くと2つに枝分かれが生じる5文字の書き方なので$2^5=32$なのです。但し，掛け算の順序は交換できますので，そういう整理をすると同じ項になるものはあります。つまり，整理すると，$x^5,~x^4y,~x^3y^2,~x^2y^3,~xy^4,~y^5$
です。このうち，今回の問題の$x^3y^2$は，元は，
$ xxxyy $ とか， $ xyyxx $ とかだったやつです。これはつまり，5つの空欄に3つの $ x $ を入れる場所を選ぶ選び方になります。これは，1番から5番までの５ヶ所のうちから， $ x $ が入る３ヶ所を選ぶ選び方（組み合わせ）になります。残った2ヶ所には $ y $ が自動的に入ります。別の言い方をすると，3個の $ x $ と2個の $ y $ を並べる問題（同じものを含む順列）と同じ問題になります。

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