gakusyu.jp 数学初級問題集（ 3004）

gakusyu.jp 数学初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）

問題:$ \lim\limits_{n\to\infty}\left( \dfrac{1+2+3+ \cdots +n}{n^2} \right) =$

$~$$1$

$~$$\dfrac{1}{3}$

$~$$0$

$~$$\dfrac{1}{2}$

$~$$2$

解説

limを取る前の式を見ます。分子は等差数列の和です。計算すると，
$ \left( \dfrac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2} \right) $ $ = \left( \dfrac{n^2+n}{2n^2} \right) $
これの分母も分子も正の無限大に発散します。このような式を「不定形の極限」と言います。ですがこの分母・分子を$ n^2 $で割りますと，
$ = \left( \dfrac{1+\frac{1}{n}}{2} \right) $
となります。この式の分母も分子も発散しません。つまり不定形が解消されました。

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