gakusyu.jp 数学 初級問題集(数学の問題です。がんばってみましょう。)
問題:$ \lim\limits_{\theta\to 0}\left( \dfrac{\sin 2\theta}{\theta} \right) =$ |
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解説 $y=\sin{x}$と$y=x$のグラフは,原点付近では,ほぼ同じなんですね。これを数式で書くと, $ \lim\limits_{\theta\to 0}\left( \dfrac{\sin \theta}{\theta} \right) = 1$ になります。この式の $ \theta$ はラジアンを単位とします。ラジアンを単位とすると,この公式がきれいに書けるんですね。 さて,この問題ですが,今言った上の式とは,少し違っていて分子が $\sin{2\theta} $ になっています。公式を使うには,分母と分子の角度の部分が同じ式・変数になる必要があります。0に近づければ,必ずしも$\theta$でなくてもかまいません。 なので,分母・分子とも角度のところを $2\theta$ にすると良いです。さらに $ \theta $ が $0$ に収束するならば,$2\theta$ も $0$ に収束しますので, $ \lim\limits_{\theta\to 0}\left( \dfrac{\sin 2\theta}{\theta} \right) = \lim\limits_{2\theta\to 0}2\left( \dfrac{\sin 2\theta}{2\theta} \right) $ となります。この後は係数の $2$ をlimの外に出して,はじめに書いた公式を適用します。 y=xとy=sinxのグラフ(google)" |
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