gakusyu.jp 数学初級問題集（ 3041）

gakusyu.jp 数学初級問題集（数学の問題です。がんばってみましょう。）

問題:行列$A= \left( {\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & -1 \\ \end{array}} \right) $のとき，$ A^2=O $ である。
その際に，$ (A+E)^3 $ を求めよ。
なお，$ E $ は単位行列です。

$~$$ \left( {\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 3 & -4 \\ \end{array}} \right) $

$~$$ \left( {\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}} \right) $

$~$$ \left( {\begin{array}{cc} 4 & -3 \\ 3 & -2 \\ \end{array}} \right) $

$~$$ \left( {\begin{array}{cc} 3 & -3 \\ 3 & -3 \\ \end{array}} \right) $

解説

まず$(A+E)^3$ですが，$A$と$E$とは積に関して交換可能ですので，2項定理などで展開をすることができます。それで$A^2=O$を用います。$A^2=O$の両辺に$A$をかけると（どちらからかけても良い），$A^3$に関する式が得られます。

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