リズムのページ


音量1.0
 こちらでは、リズムについて考察します。各ページの「play」を押すと音が鳴ります。音は自動的に止まりますが、途中で止めるときには、「stop」を押してください。音の再生に関して、対応するブラウザに制限がある場合があります。
 今回は、4分の4拍子について考察します。1小節のなかに4分音符が4つ配置するのが最も基本的な配置と考えまして、これを「『春の小川』形式の小節」または単に「春の小川形式」と、名づけることにします。この形式はさらさらした感じが出ていると思います。
 さて、他の4分の4拍子の楽曲を聴いたり、楽譜を見たりしますと、「春の小川形式」だけではなく、もう少し複雑な音符・休符の配置になっています。それらについて考察していきます。
 今回の考察として、「春の小川形式」を4分の4拍子の最も基本的、原始的、原則的、単純なものとして捕らえ、それを次々に変化させていく方法を採りました。(公開日2016/07/10)
 セル・オートマトンってあります。初期状態と、変化のルールを決めると、その決め方によっては、複雑に変化する場合があります。初期状態として「春の小川形式」をつかい、各種の1次元のセル・オートマトンを参考にして、ルールを作って動かしてみました。
 すなわち「春の小川形式」を初期状態、第1世代として、その状態をもとに少し変化させたものを第2世代として、第3世代、…と作っていきます。
 元の世代がどうなってると、次世代がどうなるかは、以下のルールとしました。
 
(1) 4分音符が2個連続していると、次世代に2分音符1個になる。
 
(2) 8分音符が2個連続していると、次世代に4分音符1個になる。
 
(3) 4分音符1個が、次世代に8分音符2つになる。
 
(4) 8分音符1つと4分音符1つとがと連続していると、次世代に付点4分音符1個になる。
 
(5) 4分音符1つと8分音符1つとがと連続していると、次世代に付点4分音符1個になる。
 
(6) 4分音符が2個連続していると、次世代に8分音符1個と、付点4分音符1個になる。
   
(7) 4分音符が2個連続していると、次世代に付点4分音符1個と8分音符1個になる。
 これらのルールのうち、次世代を作るには、そのうちの1つだけを適用して作ります。 各次世代は元の世代からルールを1つ適用しますが、複数のルール適用が可能な場合には、おのおのを1回ずつ適用して可能なだけ次世代が作成されます。 なので、次世代として、複数が発生します。将棋の局面のように、枝が増えていきます。将棋において、次の局面に移行するには、駒を1回動かすのと似ています。 なので、次世代が1通りに限定されるセル・オートマトンではなく、ゲーム木のノードに近いものと考えることもできます。
 元の世代と、孫の世代でまったく同じになることがあります。今回の考察では、今までになかった楽譜が、初めて発生した場合に、その世代を記録していきます。 そうしますと、9世代(8回の変化)ですべての可能な楽譜が作成されました。一般的な2次元などのセル・オートマトンの場合には、土地が広いので、複雑に広がったりしますが、今回は1小節で、8分音符までですので、変化も限られます。
 その楽譜が最初に現れた世代を見ますと、そのリズムの複雑さと、それなりの関係があると思われました。後に新規に現れたリズムほど、シンコペーションなども起こり複雑さが高まっていると感じられました。ただ今回は、小節をまたいだシンコペーションは生じません。
 さらに、今回は休符は無いものとして考察しています。
 数学的には、1,2,3,4の数字を、何度使っても良く、また、使わない数字があってもよいので、その和が8になるものの順列となります。5、6、7、8の数字はどれも使えません。 これは、8分音符を1、4分音符を2、付点4分音符を3、2部音符を4として表したということです。 
 例えば「春の小川形式」は、「2222」となります。生成された各リズムをあらわすコードとして、この数字を使うこととしました。
8を1,2,3,4の和で表す方法(別の並べ方は別と数える)

拍の数で分類して求めることにする。

・8拍…「11111111」の1通り
・7拍…7拍中、どこの1か所を2にするかの決め方なので7通り

・6拍…2通りに分類して求めることにする。
311111
の並べ方なので6通り
221111
の並べ方なので$_6{\rm C}_2$=15通り

よってこれらの和なので6+15=21通り

・5拍
まず各拍に1つずつあげて、のこりの3つをどこに割り振るかの問題
残りの配分は、1つの拍に集中しても差し支えない(集中させても5や6や7の長さは生じない)。
 3拍まとめて 5通り
 2,1に分けて $_5{\rm P}_2$=20通り
 1,1,1ずつ  $_5{\rm C}_3$=10通り

よってこれらの和なので5+20+10=35通り

・4拍
 5拍と同じ考え方で求める。但し、残りの4を1つの拍に集中して渡すことはできない。5の長さの拍が生じてしまうから。
 3,1 $_4{\rm P}_2$=12
 2,2 $_4{\rm C}_2$=6
 2,1,1 4×$_3{\rm C}_2$=12
 1,1,1,1 1通り

よってこれらの和なので12+6+12+1=31通り

・3拍
431 $_3{\rm P}_3$=6通り

422 $_3{\rm C}_2$=3通り

332 $_3{\rm C}_2$=3通り

なのでこれらの和なので3+6+3=12通り

・2拍…「44」の1通り

これらの小計の合計を求めればよい。
1+7+21+35+31+12+1=108通り

 以下の表の左側が、2222から何手後にそのリズムが発生したかの順に並べたものです。同手数の場合には、コードを自然数と見た小さい順です。
 以下の表の右側が、コードを数字として見た時の小さい順です。各リンク先で、そのリズムの音を鳴らすことができます。
手数リズム
02222
1224
1242
1422
11322
12132
12213
12231
12312
13122
111222
121122
122112
122211
244
2134
2233
2314
2332
2413
2431
21124
21142
21313
21331
22114
22411
23113
23131
24112
24211
211132
211213
211231
211312
213112
213211
221113
221131
221311
223111
231112
231211
2111122
2112112
2112211
2211112
2211211
2221111
3323
31133
31232
32123
32321
33212
33311
311114
311411
312122
321212
322121
341111
3111113
3111131
3111311
3113111
3131111
3311111
31111112
31111211
31121111
32111111
41214
44121
411123
411321
412113
412131
412311
413121
431121
432111
4111212
4112121
4121112
4121211
4211121
4212111
411111111
51223
53221
512212
521221
51111121
51112111
51211111
6143
6341
61412
62141
6111221
6121121
6122111
711141
712221
714111
81241
81421
手数リズム
244
2134
6143
1224
2233
1242
2314
3323
2332
6341
2413
1422
2431
21124
31133
21142
41214
51223
31232
81241
21313
11322
21331
61412
81421
22114
32123
12132
62141
12213
02222
12231
12312
32321
22411
23113
13122
23131
33212
53221
33311
24112
44121
24211
311114
411123
211132
711141
211213
111222
211231
211312
411321
311411
412113
312122
412131
512212
712221
412311
213112
413121
213211
714111
221113
121122
221131
321212
521221
221311
122112
322121
122211
223111
231112
431121
231211
432111
341111
3111113
2111122
3111131
4111212
6111221
3111311
2112112
4112121
2112211
3113111
4121112
6121121
4121211
6122111
3131111
2211112
4211121
2211211
4212111
2221111
3311111
31111112
51111121
31111211
51112111
31121111
51211111
32111111
411111111

以下もご利用ください。
メトロノーム  ピアノ  ピアノの各音の周波数  音階・調性 
home  index